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確率の期待値がよくわかる問題②

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確率を学ぶ上で「モンティホール問題」と呼ばれる有名な問題があります。





モンティホール問題とは


モンティホール問題とは「確率論を利用した一種の心理トリック」です。



例えば、あなたは今テレビのバラエティのゲストとして呼ばれています。そして、これから出す問題に正解すれば、高級車を無料で手に入れることができます。



あなたの前には、ドアが3つあります。その1つのドアの後ろには景品の高級車があります。そして、他のドア後ろには外れのヤギいます。





あなたは高級車のドアを見事当てることができたらその高級車を手に入れることができます。



そして、あなたはドアを1つ選択しました。そうすると司会者があなたが選んでいないドアを開けるとヤギが入っていました。すると、司会者はあなたにこう言いました。



「最初に選択しているドアではなくもう1つのドアに変えることもできますがどうしますか?」





これがモンティホール問題です。そして、この質問の問題点は、



・最初に選択しているドアをそのまま選ぶのか


・もう1つのドアに選択を変えるのか



この2つの場合はどちがのほうが得なのかと言うことがこの問題の本質です。



正解は、もう1つのドアに選択したほうが得です。高級車を当てる確率は倍になるからです。



モンティホール問題の解説


一見、この問題の答えは外れがわかった時点で残りのドアが2つになりますので、確率は、1/2になったと思いますが、このように直観と実際の確率のずれが生じることが要因です。



私たちの直観で思うことはこのようなことであり、このように実際よく考えてみればどちらが確率が高いかを説明させられたとしてもなかなか受け入れられないのです。





この問題で重要なのは正解率です。この場合ですと、最初にドアを選択した場面の正解率は、1/3になり、残りのドア2枚の正解率は、2/3となります。



残りの正解率2/3の2つのドアの1つを開き、ハズレのヤギを見せることにで、残り2つのドアの正解率が2/3でしたので、その状況に変わりはなく、残りのドアの1つに正解率が集中することになります。



このことからもドアを開いた後は、選択をもう1つのドアに変えたほうが正解率が高いことがわかります。



確かに、ドアを開いた後に、選択しているドアを変えるか変えないかをコイントスのようなもので決めると言うのならば、正解確率は1/2になるかもしれません。



そのようなの確率で1/2はなく、1/3と2/3の確率になりますので、ただ単に1/2になった訳ではありません。



最初の選択の確率では、1/3ですが、ハズレのドアを確認した後の確率は、1/2になり選択を変えたほうがいいことがわかります。





1/3で選択する場合と1/2で選択する場合は、正解率が33%と50%になりますので、ハズレのドアが開き、確率が1/2になったとしても33%で選ぶ場合と50%で選ぶ場合は、どちらが高級車を手に入れる確率が高いかは明白です。



結果から考えることで納得する


開けるドアを変えると正解確率が2倍になる理由は、ただ単に高級車を当てる確率が倍になる最も簡単な推測です。



確率論では結果であり、確率が絶対です。ですから、私たちの直感と現実とのギャップがいくらあろうとも現実の確率を素直に受け入れる必要があるのです。



そうすることができるのであれば確率は、あなたの頼もしい見方になってくれるでしょう。




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